高中数学题 已知F(x)=ax^2+bx+c,且F(0),F(1)都为奇数,求证F(x)=0无整数解

F(0) = c，F(1) = a + b + c，因为c是奇数，所以a + b必须是偶数才能保证a + b + c是奇数，这说明a和b要么同为偶数，要么同为奇数.

假设整数k满足F(k) = 0，即ak² + bk + c = 0.
因为c是奇数，所以ak² + bk = (ak + b)k = -c是奇数.
这样，k和ak + b都必须是奇数，否则乘积(ak + b)k不可能是奇数.

如果a和b同为奇数，那么ak是奇数，ak + b就是偶数，不可行，所以只可能是a和b同为偶数.
但这时△ = b² - 4ac就是偶数，从而求根公式k = (-b±√△)/(2a)中涉及的数全都是偶数，于是整数k也必然是偶数. 这与之前所判定的“k必须为奇数”矛盾.

矛盾说明了假设的错误，原方程不存在整数解.

已知F(x)=ax^2+bx+c,且F(0),F(1)都为奇数 =》 c为奇数，a+b为偶数（a,b同为偶数或奇数）

设x1与x2为F(x)=0的解 =》 x1+x2=-b/a（奇数）, x1*x2=c/a（奇数）

假设F(x)=0有整数解，那么x1=-1,x2=-c/a => x1+x2=-1-c/a(得到x1+x2为偶数，与实际x1+x2=-b/a为奇数矛盾)

故假设不成立，F(x)=0无整理解。

baichi,zhe dou bu hui...

F(0) = c，F(1) = a + b + c 说明c是奇数 a+b是偶数
0为偶数 若F(x)=0 则至少F(x)为偶数
所以 ax^2+bx应为奇数
ax^2+bx=x（ax+b） 若x为偶数 则x（ax+b）为偶数 不成立
若x为奇数 则令x=2k+1 ax+b=2ka+a+b
2ka为偶数 a+b为偶数
所以当x为奇数时x（ax+b）仍然为偶数
所以x（ax+b）+c为奇数
所以F(x)=0无整数解